Физика Главная страница Четверг | 17.01.2019 | 17:38 | RSS 

Наука мира

образовательный портал по физике
Сайт по физике Наука мира
Связь
Кнопка сайта

Наука мира - сайт Тихомолова Евгения

посмотреть другие

Опрос
Кто Вы?
Всего ответов: 835
Статистика



Онлайн всего: 2
Гостей: 2
Пользователей: 0

Задачи по физике

Главная » Банк задач по физике » Олимпиадные задачи

Задача по физике №795
01.03.2013, 22:25

Условие

\includegraphics{0385/47}

Найдите полное сопротивление  для каждой из цепей, изображённых на рисунке.  



Решение

Начнём решение с рассмотрения цепи, изображённой на рисунке в условии слева. Разобьём исходную цепь на две последовательно соединённые вспомогательные цепи с неизвестными сопротивлениями  и  (см. рис..1) и рассмотрим каждую вспомогательную цепь по отдельности.

Первая вспомогательная цепь представляет собой последовательность узлов, типа изображённых на рисунке.2. Если у этой цепи отбросить первый узел, то получится новая цепь, во всём подобная прежней (обе цепи бесконечные!), но состоящая из резисторов с вдвое меньшими номиналами. Её сопротивление будет равно . Действительно, так как номиналы всех резисторов, из которых состоит цепь, пропорциональны , то и полное сопротивление цепи пропорционально . Значит, если номиналы всех резисторов уменьшатся вдвое, то и полное сопротивление также уменьшится вдвое. В итоге для первой вспомогательной цепи можно нарисовать эквивалентную схему (см. рис..3), из которой следует уравнение: 

\begin{displaymath}
R_1=R+\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{ \mathchoice{\displ...
...displaystyle\frac{1}{R_1/2}}{\displaystyle\frac{1}{R_1/2}}}},
\end{displaymath}

откуда .


\includegraphics[scale=1.0]{0385/45-1}
Рис..1.
                
\includegraphics[scale=1.0]{0385/45-2}
Рис..2.
 
\includegraphics[scale=1.0]{0385/45-3}
Рис..3.

Вторая вспомогательная цепь состоит из бесконечного числа параллельно соединённых резисторов, причем номинал каждого следующего резистора вдвое больше номинала предыдущего. Учитывая это, для сопротивления  имеем: 

\begin{displaymath}
R_2=\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{ \mathchoice{\display...
...isplaystyle\frac{1}{2}}\right)^{\textstyle\!n\vphantom{l}}}}.
\end{displaymath}

Сумма, стоящая в знаменателе, представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии. По известной формуле она равна 
\begin{displaymath}
\sum_{n=0}^{\infty} q^n=\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{1...
...}}}}{\displaystyle\frac{1}{1-q}}{\displaystyle\frac{1}{1-q}}.
\end{displaymath}

С учётом этого .

Этот же результат можно получить и способом, который применялся для нахождения сопротивления . Отбросим у второй вспомогательной цепи первый резистор . Тогда получится новая цепь, подобная прежней, но имеющая вдвое большее сопротивление. В итоге получаем эквивалентную схему, изображённую на рисунке.4, из которой следует уравнение:

\includegraphics{0385/45-4}


\begin{displaymath}
R_2=\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{\mathchoice{\displays...
...{\displaystyle\frac{1}{2R_2}}{\displaystyle\frac{1}{2R_2}}}},
\end{displaymath}

приводящее к прежнему результату для .

Так как рассмотренные вспомогательные цепи соединены последовательно, окончательно для цепи, изображённой на рисунке в условии слева, имеем: 

\begin{displaymath}
R_{ab}=R_1+R_2=\left(\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{2}}{...
...style\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}}+\sqrt{2}\right)R.
\end{displaymath}

Теперь рассмотрим цепь, изображённую на рисунке в условии справа. Для решения задачи, аналогично предыдущему случаю, вновь разобьём исходную цепь на две последовательно соединённые вспомогательные цепи с неизвестными сопротивлениями  и  (см. рис..5).

\includegraphics{0385/45-5}

Сопротивление первой вспомогательной цепи  было найдено при рассмотрении предыдущего случая. Сопротивление же второй вспомогательной цепи может быть найдено по формуле: 

\begin{displaymath}
R_3=\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{ \mathchoice{\display...
...{n}}}}{\displaystyle\frac{1}{n}}{\displaystyle\frac{1}{n}}}}.
\end{displaymath}

Знаменатель этой формулы представляет собой сумму так называемого гармонического ряда, который расходится. Таким образом, сумма в знаменателе равна бесконечности, поэтому. Учитывая это, для цепи, изображённой на рисунке в условии справа, окончательно получаем: 
\begin{displaymath}
R_{ab}=R_1+R_3=\sqrt{2}R.
\end{displaymath}

 

Ответ

Для цепи слева 

\begin{displaymath}
R_{ab} = \left(\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displ...
...style\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}}+\sqrt{2}\right)R,
\end{displaymath}

для цепи справа 
\begin{displaymath}
R_{ab}=\sqrt{2}R.
\end{displaymath}

Добавил: Евгений | | Теги: решение задач, онлайн задачи, банк задач, задачи по физике, олимпиадные задачи, олимпиады по физике
Просмотров: 1977 | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Личный кабинет
Наука мира


Ссылки
Поиск