Физика Главная страница Четверг | 17.01.2019 | 18:10 | RSS 

Наука мира

образовательный портал по физике
Сайт по физике Наука мира
Связь
Кнопка сайта

Наука мира - сайт Тихомолова Евгения

посмотреть другие

Опрос
Что бы Вы хотели больше видеть на сайте?
Всего ответов: 278
Статистика



Онлайн всего: 4
Гостей: 4
Пользователей: 0

Задачи по физике

Главная » Банк задач по физике » Олимпиадные задачи

Задача по физике №793
01.03.2013, 22:24

Условие

\includegraphics{0383/45}

Оцените с точностью не хуже 1% силу тока, текущего через резистор  в электрической цепи, изображённой на рисунке.  



Решение

Сопротивление резисторов  и  намного превышает сопротивление остальных резисторов. Поэтому в первом приближении токами, текущими через резисторы  и, можно пренебречь по сравнению с другими токами в цепи, то есть считать, что резисторов  и  в схеме просто нет. Тогда исходная схема сведётся к более простой (см. рис..1).

\includegraphics{0383/43-1}

Обозначим через  ток, текущий в упрощённой схеме через резисторы ,  и , а через  — ток, текущий через резисторы ,  и . Тогда 

\begin{displaymath}
I_1 = \mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E...
...}}}{12R}}{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}}{12R}}.
\end{displaymath}

Для напряжения между точками схемы 1 и 2, а также между точками 1 и 3 (см. рис..1) имеем: 
\begin{displaymath}
U_{12} = RI_1 = \ensuremath{\mathscr{E}}/9;
\qquad
U_{13} = 2RI_2 = \ensuremath{\mathscr{E}}/6.
\end{displaymath}

Значит, напряжение между точками схемы 2 и 3 равно 
\begin{displaymath}
U_{23} = U_{13} - U_{12} = \ensuremath{\mathscr{E}}/18.
\end{displaymath}

Из-за малости токов, текущих через резисторы  и , напряжение между точками 2 и 3 в упрощённой схеме практически совпадает с напряжением между этими же точками в исходной схеме. Значит, в качестве оценки для величины тока, текущего через резистор , можно взять величину 

\begin{displaymath}
I_{1000R} = \mathchoice{\displaystyle\frac{U_{23}}{1000R}}{...
...000R}}{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}}{18000R}}.
\end{displaymath}

\includegraphics{0383/43-2}

Величину погрешности нашего результата можно оценить следующим образом. Обозначим токи, текущие в исходной схеме через резисторы , ,  и  через , , и  соответственно (см. рис..2). Тогда, в соответствии с законом Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, имеем: 

\begin{displaymath}
\tilde I_1 R_1 + (\tilde I_1 + I_a)R_2 +
(\tilde I_1 + I_a + I_b)R_3 = \ensuremath{\mathscr{E}},
\end{displaymath}

где , , . Отсюда 
\begin{displaymath}
\tilde I_1 =
\mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\m...
...splaystyle\frac{I_a (R_2 + R_3) + I_b R_3}{R_1 + R_2 + R_3}}.
\end{displaymath}

Аналогично, 
\begin{displaymath}
\tilde I_2 R_4 + (\tilde I_2 - I_a)R_5 +
(\tilde I_2 - I_a - I_b)R_6 = \ensuremath{\mathscr{E}},
\end{displaymath}

где , , . Отсюда 
\begin{displaymath}
\tilde I_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\ma...
...playstyle\frac{I_a (R_5 + R_6) + I_b R_6}{R_4 + R_5 + R_6}} .
\end{displaymath}

Таким образом, токи, рассчитанные приближённым способом, отличаются по абсолютной величине от токов, рассчитанных точно, на величины 

\begin{displaymath}
\begin{array}{c}
\Delta I_1 = \vert I_1 - \tilde I_1\vert
...
...R_5 + R_6}}
<
\vert I_a\vert + \vert I_b\vert,
\end{array}
\end{displaymath}

то есть абсолютная погрешность каждого из токов  и  не превосходит сумму абсолютных величин токов . Учитывая, что ток  приближённо равен 
\begin{displaymath}
I_{b} = \mathchoice{\displaystyle\frac{5RI_{1} - 6RI_{2}}{2...
...000R}}{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}}{36000R}},
\end{displaymath}

а ток  был оценён нами ранее, получим оценку для абсолютных погрешностей токов  и : 
\begin{displaymath}
\Delta I_{1,2}
<
\mathchoice{\displaystyle\frac{\ensurema...
...000R}}{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}}{12000R}}.
\end{displaymath}

Значит, абсолютная погрешность напряжения  не превышает 
\begin{displaymath}
\Delta U_{23} < R\Delta I_{1} + 2R\Delta I_{2} = \mathchoic...
...4000R}}{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}}{4000R}}.
\end{displaymath}

Так как сила тока, текущего через резистор , пропорциональна , то относительные погрешности определения этого тока и напряжения  одинаковы и составляют 
\begin{displaymath}
\mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta I_{1000R}}{I_{1000R}}...
...8}{4000}}{\displaystyle\frac{18}{4000}} = 0{,}045 = 0{,}45\%,
\end{displaymath}

что удовлетворяет условию задачи.

В заключение отметим, что данную задачу можно решить точно. В этом случае после проведения всех необходимых вычислений получается ответ , от которого наша оценка отличается примерно на 0,3%.  

Ответ


\begin{displaymath}
I_{1000R} = \mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mat...
...000R}}{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}}{18000R}};
\end{displaymath}

погрешность не превышает 0,5%.

Добавил: Евгений | | Теги: решение задач, онлайн задачи, банк задач, задачи по физике, олимпиадные задачи, олимпиады по физике
Просмотров: 3444 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Личный кабинет
Наука мира


Ссылки
Поиск