Физика Главная страница Суббота | 07.12.2019 | 16:29 | RSS 

Наука мира

образовательный портал по физике
Сайт по физике Наука мира
Связь
Кнопка сайта

Наука мира - сайт Тихомолова Евгения

посмотреть другие

Опрос
Кто Вы?
Всего ответов: 846
Статистика



Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0

Задачи по физике

Главная » Банк задач по физике » Олимпиадные задачи

Задача по физике №789
01.03.2013, 22:23

Условие

Камень, брошенный вертикально вверх с достаточно большой высоты, за первую секунду полёта проходит путь . Какой путь пройдёт камень за вторую секунду полёта? Ускорение свободного падения равно . Сопротивлением воздуха пренебречь.  



Решение

Введём обозначение: . Поместим начало координат в точке бросания и направим ось  вверх. Возможны три случая, в зависимости от величины .

1. В течение первых двух секунд камень движется вверх, то есть . Тогда для первой секунды полёта путь 

\begin{displaymath}
S=v_0 t_0 - (\textsl{g}t_0^2/2) > 3\textsl{g}t_0^2/2 = 15 \mbox{м}.
\end{displaymath}

Из написанного равенства следует, что .

К концу второй секунды полёта вертикальная координата камня будет равна . Следовательно, за вторую секунду камень пройдёт путь.

2. В течение первой секунды камень движется вверх, а в течение второй секунды направление его движения изменяется. При этом, очевидно,  должно удовлетворять следующим условиям: 

\begin{displaymath}
v_0 - \textsl{g}t_0 > 0; \quad v_0 - \textsl{g}\cdot 2 t_0 < 0,
\end{displaymath}

откуда 
\begin{displaymath}
\textsl{g}t_0 =10 \mbox{м}/\mbox{с}< v_0 < \textsl{g}\cdot 2 t_0 =20 \mbox{м}/\mbox{с}.
\end{displaymath}

Тогда, аналогично первому случаю, , и, с учётом написанного выше условия для , получим: .

Камень остановится через время . При этом . К концу промежутка времени  вертикальная координата камня будет равна 

\begin{displaymath}
y_{\rm макс}=v_0\tau-\mathchoice{\displaystyle\frac{\textsl...
...displaystyle\frac{(2S+\textsl{g}t_0^2)^2}{8\textsl{g}t_0^2}},
\end{displaymath}

а к концу второй секунды полёта координата камня будет равна 
\begin{displaymath}
y_{\rm кон}=v_0 \cdot 2 t_0 - (\textsl{g}/2) \cdot (2t_0)^2 = 2S-\textsl{g}t_0^2.
\end{displaymath}

Таким образом, за вторую секунду камень пройдёт путь 

\begin{displaymath}
\Delta S=(y_{\rm макс}-S)+(y_{\rm макс}-y_{\rm кон})=
2y_{...
...tsl{g}^2 t_0^4-8\textsl{g}t_0^2 S +4 S^2}{4\textsl{g}t_0^2}},
\end{displaymath}

и с учётом неравенства, написанного выше для , получим 
\begin{displaymath}
2{,}5 \mbox{м}< \Delta S < 5 \mbox{м}.
\end{displaymath}

При этом если камень останавливается строго в начале или в конце второй секунды полёта, то , а если остановка происходит в середине второй секунды, то путь минимален: .

3. Направление движения камня изменяется в течение первой секунды. При этом , часть пути  камень проходит вверх до точки остановки на высоте за время , а оставшуюся часть — за время : 

\begin{displaymath}
S_2=\mathchoice{\displaystyle\frac{\textsl{g}(t_0-\tau)^2}{...
...-\tau)^2}{2}}{\displaystyle\frac{\textsl{g}(t_0-\tau)^2}{2}}.
\end{displaymath}

Таким образом, 
\begin{displaymath}
S =\nobreak\discretionary{}{\hbox{$=$}}{}S_1 + S_2 = \mathc...
...^2}{2}}{\displaystyle\frac{\textsl{g}t_0^2}{2}} = 5 \mbox{м}.
\end{displaymath}

Из последнего равенства получаем: . Поскольку при этом должно выполняться неравенство , то . Окончательно получаем, что в третьем случае ограничения на величину  имеют вид: 
\begin{displaymath}
\mathchoice{\displaystyle\frac{\textsl{g}t_0^2}{4}}{\displa...
..._0^2}{2}}{\displaystyle\frac{\textsl{g}t_0^2}{2}}=5 \mbox{м}.
\end{displaymath}

В конце первой секунды координата камня будет равна 

\begin{displaymath}
y_1=v_0t_0-\mathchoice{\displaystyle\frac{\textsl{g}t_0^2}{...
...ystyle\frac{t_0\sqrt{4\textsl{g}S - \textsl{g}^2 t_0^2}}{2}},
\end{displaymath}

а в конце второй секунды 
\begin{displaymath}
y_2=v_0\cdot 2t_0 - \mathchoice{\displaystyle\frac{\textsl{...
...xtsl{g}t_0\pm\sqrt{4\textsl{g}S - \textsl{g}^2 t_0^2}\right).
\end{displaymath}

Поскольку в данном случае в течение всей второй секунды камень падает вниз, то путь, пройденный им за вторую секунду, составляет 
\begin{displaymath}
\Delta S = y_1-y_2 = \textsl{g}t_0^2 \mp \mathchoice{\displ...
...style\frac{t_0\sqrt{4\textsl{g}S - \textsl{g}^2 t_0^2 }}{2}}.
\end{displaymath}

С учётом ограничений на величину  получаем: .

Очевидно, что при  решения задачи нет.  

Ответ

Если в течение первых двух секунд камень движется вверх, то за вторую секунду камень пройдёт путь .

Если в течение первой секунды камень движется вверх, а в течение второй секунды направление его движения изменяется, то  При этом если камень останавливается строго в начале или в конце второй секунды полёта, то , а если остановка происходит в середине второй секунды, то путь минимален: .

Если направление движения камня изменяется в течение первой секунды, то .

При  решения задачи нет.

Добавил: Евгений | | Теги: решение задач, онлайн задачи, банк задач, задачи по физике, олимпиадные задачи, олимпиады по физике
Просмотров: 1886 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Личный кабинет
Наука мира


Ссылки
Поиск