	Главная страница	Пятница \| 13.12.2019 \| 18:26 \| RSS
	образовательный портал по физике

Меню сайта

Связь

Кнопка сайта

посмотреть другие

Опрос

Статистика

Онлайн всего: 20

Гостей: 20

Пользователей: 0

Задачи по физике

Главная » Банк задач по физике » Олимпиадные задачи

Задача по физике №779

	16.02.2013, 17:59
Условие $\includegraphics{0314/55-u}$ Тепловая машина, рабочим телом которой является идеальный одноатомный газ, совершает работу в цикле 1-2-3-4-2-5-1, показанном на -диаграмме (см. рисунок). Точки 1, 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат диаграммы, а точка 2 является серединой отрезка 1-3. Найдите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу, если максимальная температура газа в данном цикле больше минимальной температуры в раз. Вычислите значение КПД при . Решение $\includegraphics{0314/55-}$ Обозначим давления, объёмы и температуры, которые газ имеет в состояниях 1, 2 и 3, так, как показано на рисунке. Тогда для каждого из этих состояний можно записать уравнение Менделеева — Клапейрона: $\begin{displaymath} \begin{array}{l} p_1 V_1 = \nu RT_1 , \\ p_2 V_2 = \nu RT_2 , \\ p_3 V_3 = \nu RT_3, \end{array} \eqno(1) \end{displaymath}$ где — количество молей газа. Кроме того, из условия задачи следует, что справедливы соотношения: $\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{p_1}{V_1}}{\displaystyle\fra... ...style\frac{p_3}{V_3}}{\displaystyle\frac{p_3}{V_3}}, \eqno(2) \end{displaymath}$ $\begin{displaymath} V_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{V_1+V_3}{2}}{\displays... ...e\frac{V_1+V_3}{2}}{\displaystyle\frac{V_1+V_3}{2}}, \eqno(3) \end{displaymath}$ $\begin{displaymath} p_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{p_1+p_3}{2}}{\displays... ...e\frac{p_1+p_3}{2}}{\displaystyle\frac{p_1+p_3}{2}}. \eqno(4) \end{displaymath}$ Сначала получим несколько вспомогательных формул. Из (1) и (2) следует: $\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{p_1}{V_1}}{\displaystyle\fra... ...ac{\nu RT_3}{V_3^2}}{\displaystyle\frac{\nu RT_3}{V_3^2}} . \end{displaymath}$ Отсюда: $\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}{\displaystyle\fra... ...le\frac{T_3}{T_1}}{\displaystyle\frac{T_3}{T_1}}} . \eqno(5) \end{displaymath}$ Деля правую и левую части (3) на , с учётом двух последних уравнений имеем: $\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}{\displaystyle\fra... ...ystyle\frac{T_3}{T_1}}{\displaystyle\frac{T_3}{T_1}}}\right), \end{displaymath}$ откуда $\begin{displaymath} T_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{1}{4}}{\displaystyle\f... ...e\frac{1}{4}}\left(\sqrt{T_1} + \sqrt{T_3}\right)^2. \eqno(6) \end{displaymath}$ Теперь приступим к нахождению КПД. В данном цикле газ получает теплоту от нагревателя на участке 1-2-3. В соответствии с первым началом термодинамики: $\begin{displaymath} \Delta Q_{\rm н} = \Delta U_{13} + \Delta A_{123} = \mathc... ...tyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}}(p_1+p_3)(V_3-V_1). \end{displaymath}$ С учётом (1) и (2) это выражение можно преобразовать следующим образом: $\begin{displaymath} \Delta Q_{\rm н} = \mathchoice{\displaystyle\frac{3}{2}}{\... ...nu RT_1 + \nu RT_3 - p_3 V_1) = 2\nu R(T_3 - T_1). \eqno(7) \end{displaymath}$ Далее найдём количество теплоты, которое газ отдаёт холодильнику на участке 3-4-2-5-1. Это количество теплоты равно (по абсолютной величине) $\begin{displaymath} \Delta Q_{\rm х} = \Delta U_{13} + \Delta A_{15243} = \mat... ...\frac{3}{2}}\nu R(T_3 - T_1) + p_1(V_2-V_1) + p_2(V_3 - V_2). \end{displaymath}$ С учётом (1) и (5) выражение для можно преобразовать следующим образом: $\begin{displaymath} \Delta Q_{\rm х} = \mathchoice{\displaystyle\frac{3}{2}}{\d... ...}\nu R(T_3 - T_1) + p_1 V_2 - \nu RT_1 + p_2 V_3 - \nu RT_2 = \end{displaymath}$ $\begin{displaymath} = \mathchoice{\displaystyle\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{... ...le\frac{V_3}{V_2}}{\displaystyle\frac{V_3}{V_2}} - \nu RT_2 = \end{displaymath}$ $\begin{displaymath} = \mathchoice{\displaystyle\frac{\nu R}{2}}{\displaystyle\f... ... R}{2}}(3T_3- 5T_1- 2T_2+ 2\sqrt{T_1 T_2} + 2\sqrt{T_2 T_3}). \end{displaymath}$ Наконец, последнее выражение, с учётом (6), приводится к виду: $\begin{displaymath} \Delta Q_{\rm х} = \mathchoice{\displaystyle\frac{\nu R}{4}... ...tyle\frac{\nu R}{4}}(7T_3 - 9T_1 + 2\sqrt{T_1 T_3}). \eqno(8) \end{displaymath}$ КПД данного цикла можно найти, используя (7) и (8): $\begin{displaymath} \eta = 1 - \mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta Q_{\rm х}}... ...\displaystyle\frac{T_1 - 2\sqrt{T_1 T_3} + T_3}{8(T_3-T_1)}}. \end{displaymath}$ Заметим, что и — это максимальная и минимальная температуры газа в данном цикле. Поскольку по условию задачи /, то $\begin{displaymath} \eta =\mathchoice{\displaystyle\frac{1-2\sqrt{T_3/T_1}+T_3/... ...-2\sqrt{n}+n}{n-1}}{\displaystyle\frac{1-2\sqrt{n}+n}{n-1}} = \end{displaymath}$ $\begin{displaymath} =\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{8}}{\displaystyle\frac{1... ...-1}{\sqrt{n}+1}}{\displaystyle\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}}. \end{displaymath}$ При получаем . Заметим, что при вычислении КПД можно вместо количества теплоты искать работу , совершаемую газом в данном цикле. Она численно равна площади фигуры 1-2-3-4-2-5-1: $\begin{displaymath} A = \mathchoice{\displaystyle\frac{\nu R}{4}}{\displaystyle... ...}{4}}{\displaystyle\frac{\nu R}{4}}(T_1-2\sqrt{T_1 T_3}+T_3). \end{displaymath}$ Однако, этот способ решения задачи несколько более трудоёмок. Ответ $\begin{displaymath} \eta =\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{8}}{\displaystyle\f... ...-1}{\sqrt{n}+1}}{\displaystyle\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}}; \end{displaymath}$ при получаем .
1 2 3 4 5 Добавил: Евгений \| \| Теги: банк задач, задачи по физике, решение задач, олимпиадные задачи, онлайн задачи, олимпиады по физике
Просмотров: 1758 \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Личный кабинет

Наука мира

Ссылки

Поиск