Физика Главная страница Пятница | 13.12.2019 | 18:26 | RSS 

Наука мира

образовательный портал по физике
Сайт по физике Наука мира
Связь
Кнопка сайта

Наука мира - сайт Тихомолова Евгения

посмотреть другие

Опрос
Кто Вы?
Всего ответов: 846
Статистика



Онлайн всего: 20
Гостей: 20
Пользователей: 0

Задачи по физике

Главная » Банк задач по физике » Олимпиадные задачи

Задача по физике №779
16.02.2013, 17:59

Условие

\includegraphics{0314/55-u}

Тепловая машина, рабочим телом которой является идеальный одноатомный газ, совершает работу в цикле 1-2-3-4-2-5-1, показанном на -диаграмме (см. рисунок). Точки 1, 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат диаграммы, а точка 2 является серединой отрезка 1-3. Найдите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу, если максимальная температура газа в данном цикле больше минимальной температуры в  раз. Вычислите значение КПД при .  



Решение

\includegraphics{0314/55-}

Обозначим давления, объёмы и температуры, которые газ имеет в состояниях 1, 2 и 3, так, как показано на рисунке. Тогда для каждого из этих состояний можно записать уравнение Менделеева — Клапейрона: 

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
p_1 V_1 = \nu RT_1 , \\
p_2 V_2 = \nu RT_2 , \\
p_3 V_3 = \nu RT_3,
\end{array}
\eqno(1)
\end{displaymath}

где  — количество молей газа. Кроме того, из условия задачи следует, что справедливы соотношения: 
\begin{displaymath}
\mathchoice{\displaystyle\frac{p_1}{V_1}}{\displaystyle\fra...
...style\frac{p_3}{V_3}}{\displaystyle\frac{p_3}{V_3}}, \eqno(2)
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
V_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{V_1+V_3}{2}}{\displays...
...e\frac{V_1+V_3}{2}}{\displaystyle\frac{V_1+V_3}{2}}, \eqno(3)
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
p_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{p_1+p_3}{2}}{\displays...
...e\frac{p_1+p_3}{2}}{\displaystyle\frac{p_1+p_3}{2}}. \eqno(4)
\end{displaymath}

Сначала получим несколько вспомогательных формул. Из (1) и (2) следует: 

\begin{displaymath}
\mathchoice{\displaystyle\frac{p_1}{V_1}}{\displaystyle\fra...
...ac{\nu RT_3}{V_3^2}}{\displaystyle\frac{\nu RT_3}{V_3^2}} .
\end{displaymath}

Отсюда: 
\begin{displaymath}
\mathchoice{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}{\displaystyle\fra...
...le\frac{T_3}{T_1}}{\displaystyle\frac{T_3}{T_1}}} .
\eqno(5)
\end{displaymath}

Деля правую и левую части (3) на , с учётом двух последних уравнений имеем: 
\begin{displaymath}
\mathchoice{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}{\displaystyle\fra...
...ystyle\frac{T_3}{T_1}}{\displaystyle\frac{T_3}{T_1}}}\right),
\end{displaymath}

откуда 
\begin{displaymath}
T_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{1}{4}}{\displaystyle\f...
...e\frac{1}{4}}\left(\sqrt{T_1} + \sqrt{T_3}\right)^2. \eqno(6)
\end{displaymath}

Теперь приступим к нахождению КПД. В данном цикле газ получает теплоту от нагревателя на участке 1-2-3. В соответствии с первым началом термодинамики: 

\begin{displaymath}
\Delta Q_{\rm н} = \Delta U_{13} + \Delta A_{123} =
\mathc...
...tyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}}(p_1+p_3)(V_3-V_1).
\end{displaymath}

С учётом (1) и (2) это выражение можно преобразовать следующим образом: 
\begin{displaymath}
\Delta Q_{\rm н} =
\mathchoice{\displaystyle\frac{3}{2}}{\...
...nu RT_1 + \nu RT_3 - p_3 V_1) =
2\nu R(T_3 - T_1).
\eqno(7)
\end{displaymath}

Далее найдём количество теплоты, которое газ отдаёт холодильнику на участке 3-4-2-5-1. Это количество теплоты равно (по абсолютной величине) 

\begin{displaymath}
\Delta Q_{\rm х} = \Delta U_{13} + \Delta A_{15243} =
\mat...
...\frac{3}{2}}\nu R(T_3 - T_1) + p_1(V_2-V_1) + p_2(V_3 - V_2).
\end{displaymath}

С учётом (1) и (5) выражение для  можно преобразовать следующим образом: 
\begin{displaymath}
\Delta Q_{\rm х} = \mathchoice{\displaystyle\frac{3}{2}}{\d...
...}\nu R(T_3 - T_1) + p_1 V_2 - \nu RT_1 + p_2 V_3 - \nu RT_2 =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
= \mathchoice{\displaystyle\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{...
...le\frac{V_3}{V_2}}{\displaystyle\frac{V_3}{V_2}} - \nu RT_2 =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
= \mathchoice{\displaystyle\frac{\nu R}{2}}{\displaystyle\f...
... R}{2}}(3T_3- 5T_1- 2T_2+ 2\sqrt{T_1 T_2} + 2\sqrt{T_2 T_3}).
\end{displaymath}

Наконец, последнее выражение, с учётом (6), приводится к виду: 
\begin{displaymath}
\Delta Q_{\rm х} = \mathchoice{\displaystyle\frac{\nu R}{4}...
...tyle\frac{\nu R}{4}}(7T_3 - 9T_1 + 2\sqrt{T_1 T_3}). \eqno(8)
\end{displaymath}

КПД данного цикла можно найти, используя (7) и (8): 

\begin{displaymath}
\eta = 1 - \mathchoice{\displaystyle\frac{\Delta Q_{\rm х}}...
...\displaystyle\frac{T_1 - 2\sqrt{T_1 T_3} + T_3}{8(T_3-T_1)}}.
\end{displaymath}

Заметим, что  и  — это максимальная и минимальная температуры газа в данном цикле. Поскольку по условию задачи /, то 

\begin{displaymath}
\eta =\mathchoice{\displaystyle\frac{1-2\sqrt{T_3/T_1}+T_3/...
...-2\sqrt{n}+n}{n-1}}{\displaystyle\frac{1-2\sqrt{n}+n}{n-1}} =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
=\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{8}}{\displaystyle\frac{1...
...-1}{\sqrt{n}+1}}{\displaystyle\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}}.
\end{displaymath}

При  получаем .

Заметим, что при вычислении КПД можно вместо количества теплоты  искать работу , совершаемую газом в данном цикле. Она численно равна площади фигуры 1-2-3-4-2-5-1: 

\begin{displaymath}
A = \mathchoice{\displaystyle\frac{\nu R}{4}}{\displaystyle...
...}{4}}{\displaystyle\frac{\nu R}{4}}(T_1-2\sqrt{T_1 T_3}+T_3).
\end{displaymath}

Однако, этот способ решения задачи несколько более трудоёмок.  

Ответ


\begin{displaymath}
\eta =\mathchoice{\displaystyle\frac{1}{8}}{\displaystyle\f...
...-1}{\sqrt{n}+1}}{\displaystyle\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}};
\end{displaymath}

при  получаем .

Добавил: Евгений | | Теги: банк задач, задачи по физике, решение задач, олимпиадные задачи, онлайн задачи, олимпиады по физике
Просмотров: 1758 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Личный кабинет
Наука мира


Ссылки
Поиск