Физика Главная страница Суббота | 08.08.2020 | 23:25 | RSS 

Наука мира

образовательный портал по физике
Сайт по физике Наука мира
Партнеры
Связь
Кнопка сайта

Наука мира - сайт Тихомолова Евгения

посмотреть другие

Опрос
Кто Вы?
Всего ответов: 862
Статистика



Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0

Задачи по физике

Главная » Банк задач по физике » Олимпиадные задачи

Задача по физике №768
16.02.2013, 17:55

Условие

Теплоизолированный закрытый вертикальный цилиндр разделён на две равные части тонким массивным теплопроводящим поршнем. Сверху и снизу от поршня, закреплённого вначале посередине цилиндра, находятся одинаковые количества идеального одноатомного газа при температуре  и давлении . После освобождения поршня он сместился вниз на некоторое расстояние и остановился в новом положении равновесия, при котором разность давлений в нижней и верхней частях цилиндра равняется . Найдите, на какую величину  изменилась при этом температура газа. Теплоёмкостью поршня и стенок цилиндра пренебречь.  



Решение

Обозначим площадь цилиндра через , массу поршня через , объём цилиндра через , а количество содержащегося в нём газа — через . Тогда для газа в исходном состоянии справедливо уравнение Менделеева — Клапейрона: 

\begin{displaymath}
pV = \nu RT.
\end{displaymath}

Пусть после освобождения поршня он перешёл в положение равновесия, опустившись на расстояние . При этом температура газа увеличилась на величину , давление в нижней части цилиндра возросло по сравнению с исходным на некоторую величину , а в верхней — уменьшилось на некоторую величину . После опускания поршня уравнение Менделеева — Клапейрона для порций газа, находящихся под поршнем и над ним, имеет вид: 

\begin{displaymath}
(p+\Delta p_1)(V-Sh) = \nu R(T+\Delta T),
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
(p-\Delta p_2)(V+Sh) = \nu R(T+\Delta T).
\end{displaymath}

Так как поршень после опускания находится в равновесии, то 

\begin{displaymath}
\Delta p_1 + \Delta p_2 = \Delta p = \mathchoice{\displayst...
...le\frac{m\textsl{g}}{S}}{\displaystyle\frac{m\textsl{g}}{S}}.
\end{displaymath}

При опускании поршня изменение его потенциальной энергии в поле силы тяжести  пошло на изменение внутренней энергии газов . Следовательно,, откуда 

\begin{displaymath}
h = 3\nu R\Delta T/(m\textsl{g}).
\end{displaymath}

Решим полученную систему, состоящую из пяти уравнений. Для этого выразим из первого уравнения объём , из четвёртого — площадь , и преобразуем второе и третье уравнения с учётом пятого: 

\begin{displaymath}
(p + \Delta p_1)\left(\mathchoice{\displaystyle\frac{T}{p}}...
...isplaystyle\frac{3\Delta T}{\Delta p}}\right) = T + \Delta T.
\end{displaymath}

Деля эти уравнения на выражения  и затем вычитая получившиеся уравнения друг из друга, получим: 

\begin{displaymath}
\Delta p_1 + \Delta p_2 = (T + \Delta T)p\Delta p\left(\mat...
...lta T}}{\displaystyle\frac{1}{T\Delta p +3p\Delta T}}\right)=
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
= \mathchoice{\displaystyle\frac{(T+\Delta T)6p^2 \Delta T\...
...T\Delta p}{T^2 (\Delta p)^2 - 9p^2 (\Delta T)^2}} = \Delta p.
\end{displaymath}

Преобразовывая последнее соотношение, получим квадратное уравнение относительно искомой величины : 

\begin{displaymath}
15p^2 (\Delta T)^2 + 6p^2 T \Delta T - T^2 (\Delta p)^2 = 0.
\end{displaymath}

Дискриминант этого уравнения равен 

\begin{displaymath}
D = 36p^4 T^2 + 60p^2 T^2 (\Delta p)^2 =
36p^4 T^2 \left(1...
...lta p}{p}}{\displaystyle\frac{\Delta p}{p}}\right)^2 \right),
\end{displaymath}

а интересующий нас положительный корень: 
\begin{displaymath}
\Delta T = \mathchoice{\displaystyle\frac{1}{30p^2}}{\displ...
...a p}{p}}{\displaystyle\frac{\Delta p}{p}}\right)^2} \right) =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
=\mathchoice{\displaystyle\frac{T}{5}}{\displaystyle\frac{T...
... p}{p}}{\displaystyle\frac{\Delta p}{p}}\right)^2}-1}\right).
\end{displaymath}

 

Ответ


\begin{displaymath}
\Delta T =
\mathchoice{\displaystyle\frac{T}{5}}{\displays...
...p}{p}}{\displaystyle\frac{\Delta
p}{p}}\right)^2}-1}\right).
\end{displaymath}

Добавил: Евгений | | Теги: решение задач, онлайн задачи, банк задач, задачи по физике, олимпиадные задачи, олимпиады по физике
Просмотров: 1010 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Личный кабинет
Наука мира


Поиск